CONGRUENCIA  Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

Congruencia de triángulos

En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es combinación de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

Criterios de congruencia de triángulos

Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.

Primer criterio de congruencia: LLL

Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.

a ≡ a’

b ≡ b’

c ≡ c’

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Segundo criterio de congruencia: LAL

Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.

b ≡ b’

c ≡ c’

α ≡ α’

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Tercer criterio de congruencia: ALA

Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.

b ≡ b’

α ≡ α’

β ≡ β’

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Cuarto criterio de congruencia: LLA

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes.

a ≡ a’

b ≡ b’

β ≡ β’

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Semejanza de Triángulos:

El concepto de semejanza corresponde a figuras de igual forma, pero no

necesariamente de igual tamaño.

Una semejanza, es un coaguló geométrico difundido de rotación (una rotación y una posible reflexión o simetría axial). En la rotación se pueden cambiar los lados y la radiación de una materia pero no se altera su coagulo.

En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura).

Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.

En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.

Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:

Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.

Criterios de semejanza de triángulos.

1.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.	2.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman.	3.- Dos triángulos son semejante si sus lados son proporcionales.

Para que dos triángulos sean semejantes es suficiente con que se verifique una de las siguientes condiciones:

1.   Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales:

2.   Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales:

3.   Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido:

Criterios de semejanza de triángulo

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1- Semejanza
Dos polígonos son semejantes si tienen la misma forma, sus ángulos son respectivamente iguales (congruentes) y sus lados proporcionales.  Es decir,  uno de los polígonos es una ampliación o reducción de la otra.
Ejemplo:

1.1- Teorema fundamental para la existencia de triángulos semejantes
Si aplicamos el teorema de fundamental de la semejanza o teorema particular de Thales en un triángulo podemos ver que toda paralela a un lado de un triángulo determina dos triángulos semejantes entre sí, ya que sus lados son proporcionales y sus ángulos son iguales.
Ejemplo:
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo DE a al lado BC, se obtiene otro triángulo ADE, cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Se dirá entonces que los triángulos ABC y ADE son semejantes.

2- Criterios de semejanza de triángulos
Para determinar la semejanza entre dos polígonos cualesquiera, estos se descomponen en triángulos y se verifica la semejanza entre los triángulos que los forman.
Se llaman Criterios de Semejanza de dos triángulos, a un conjunto de condiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes.
Esos criterios o casos son:

a. Criterio ángulo - ángulo (AA):
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales (congruentes).

En consecuencia, el tercer ángulo también resulta igual.

b. Criterio Lado - Ángulo - Lado (LAL):
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e iguales el ángulo comprendido entre ellos.

c. Criterio Lado - Lado - Lado (LLL):
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

d. Criterio Lado - Lado - Ángulo (LLA):
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de ellos son respectivamente iguales.

Ejemplo 1:
Los triángulos ABC y DEF son semejantes, si AB = 6, BC = 12, DE = 10 y DF = 7,5. Determina el valor de AC + EF.
Dibujamos los triángulos y anotamos los datos, designamos a AC = x y EF = y.

Para resolver este ejercicio, podemos ocupar el criterio de semejanza de triángulos LLL, entonces diremos que;

Reemplazamos con los datos y resolvemos x e y por separado;

Sumamos;

Respuesta: AC + EF = 24,5.


Ejemplo 2:
Para demostrar que Δ ABD ~ Δ EDC, ¿Qué criterio de semejanza usarías? Justifica.

A) LAL
B) AA
C) LLL
D) LLA

Respuesta: Alternativa B.

Justificación:
Usaría el criterio de semejanza Ángulo – Ángulo, ya que ∢ DCE = 90° - 30° = 60°, entonces se cumple;

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

Triángulos y Postulados de congruencia

Postulado LAL

(Lado, Ángulo, Lado)

 Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que los dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.

Postulado ALA

(Ángulo, Lado, Ángulo) 

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).

Postulado LLL

(Lado, Lado, Lado) 

Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

Congruencias de triángulos rectángulos

• Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

• Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.

• Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

• Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

Semejanza de triángulos

• Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes

• Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.

• Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales.

Semejanzas de triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con al menos uno de los criterios siguientes:

• Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.

• Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.

• Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

"P R O D U C T O

I N T E G R A D O R"

TRIÁNGULOS CONGRUENTES 

En matemáticas, dos figuras geométricas son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño; si existe una isometría que los relaciona: una transformación que puede ser de traslación, rotación y/o reflexión. Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes relacionadas entre las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

Triangulos congruentes

Los ángulos opuestos son congruentes debido a que una rotación de 180° sobre su vértice hace coincidir uno y el otro.

• 

  Los ángulos ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ son congruentes y opuestos por el vértice.
 
• 

  Una recta que corta dos paralelas generan ángulos congruentes.
 
• 

  Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.
 

Criterios

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se establecen a través de los llamados teoremas de congruencia¹​²​ los cuales son:

• 1° Caso LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados respectivos y el ángulo comprendido entre ellos.

• 
  

2° Caso ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos.

• 3° Caso LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales los tres lados.

y el ángulo opuesto mayor medida que ellos.

Hay quien incluye un cuarto criterio: 4° Criterio (L, L, A>) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ángulo opuesto mayor de estos lados congruentes.