Criterios de semejanza de triángulo

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1- Semejanza
Dos polígonos son semejantes si tienen la misma forma, sus ángulos son respectivamente iguales (congruentes) y sus lados proporcionales.  Es decir,  uno de los polígonos es una ampliación o reducción de la otra.
Ejemplo:

1.1- Teorema fundamental para la existencia de triángulos semejantes
Si aplicamos el teorema de fundamental de la semejanza o teorema particular de Thales en un triángulo podemos ver que toda paralela a un lado de un triángulo determina dos triángulos semejantes entre sí, ya que sus lados son proporcionales y sus ángulos son iguales.
Ejemplo:
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo DE a al lado BC, se obtiene otro triángulo ADE, cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Se dirá entonces que los triángulos ABC y ADE son semejantes.

2- Criterios de semejanza de triángulos
Para determinar la semejanza entre dos polígonos cualesquiera, estos se descomponen en triángulos y se verifica la semejanza entre los triángulos que los forman.
Se llaman Criterios de Semejanza de dos triángulos, a un conjunto de condiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes.
Esos criterios o casos son:

a. Criterio ángulo - ángulo (AA):
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales (congruentes).

En consecuencia, el tercer ángulo también resulta igual.

b. Criterio Lado - Ángulo - Lado (LAL):
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e iguales el ángulo comprendido entre ellos.

c. Criterio Lado - Lado - Lado (LLL):
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

d. Criterio Lado - Lado - Ángulo (LLA):
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de ellos son respectivamente iguales.

Ejemplo 1:
Los triángulos ABC y DEF son semejantes, si AB = 6, BC = 12, DE = 10 y DF = 7,5. Determina el valor de AC + EF.
Dibujamos los triángulos y anotamos los datos, designamos a AC = x y EF = y.

Para resolver este ejercicio, podemos ocupar el criterio de semejanza de triángulos LLL, entonces diremos que;

Reemplazamos con los datos y resolvemos x e y por separado;

Sumamos;

Respuesta: AC + EF = 24,5.


Ejemplo 2:
Para demostrar que Δ ABD ~ Δ EDC, ¿Qué criterio de semejanza usarías? Justifica.

A) LAL
B) AA
C) LLL
D) LLA

Respuesta: Alternativa B.

Justificación:
Usaría el criterio de semejanza Ángulo – Ángulo, ya que ∢ DCE = 90° - 30° = 60°, entonces se cumple;