Semejanza (geometría)

En matemáticas se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma sin importar los tamaños entre ellos. Por ejemplo, dos mapas con distintas escalas son semejantes, pues la forma del contenido no cambia, pero sí el tamaño.

Una semejanza entre dos figuras geométricas viene definida exclusivamente por la condición de que la distancia entre cualquier par de puntos de la primera figura ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$, y la distancia entre sus dos correspondientes de la segunda figura ${\displaystyle A'}$ y ${\displaystyle B'}$, tienen un valor constante llamado razón de semejanza:

${\displaystyle {\frac {\;{\overline {A'B'}}\;}{\;{\overline {AB}}\;}}=\alpha }$

Una semejanza se puede expresar como una composición de rotaciones, traslaciones, reflexiones y homotecias.¹​ Por tanto la semejanza puede modificar el tamaño y la orientación de una figura pero no altera su forma.²​

En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos.

Características

Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

• Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.

• Una semejanza es la composición de una isometría con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.

Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.

En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos. Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno.

En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes se escribe ABC ~ A'B'C', donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con A', B' y C', respectivamente. Una similitud tiene la propiedad de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.

Propiedad reflexiva, refleja o idéntica

Todo triángulo es semejante a sí mismo.

Propiedad idéntica o simétrica

Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero.

Propiedad transitiva

Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.

Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de equivalencia.