Teorema fundamental de la semejanza de triángulos

Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.

Hipótesis:

Dado ${\displaystyle ABC}$ y ${\displaystyle r\|AC}$

${\displaystyle r}$ corta ${\displaystyle AB}$ o a su prolongación en ${\displaystyle L}$

${\displaystyle r}$ corta ${\displaystyle BC}$ o a su prolongación en ${\displaystyle M}$

Teorema:

${\displaystyle (BLM\sim BAC)}$

Dando lugar a tres casos:

Primer caso[editar]

Si ${\displaystyle r}$ corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos:

Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):

${\displaystyle \wedge B=\wedge B}$ por carácter reflejo

${\displaystyle \wedge BLM=\wedge A}$ por ser correspondientes entre r || AC, secante AB

${\displaystyle \wedge BML=\wedge C}$ por ser correspondientes entre r || AC, secante BC

Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:

${\displaystyle {\frac {BL}{BA}}={\frac {BM}{BC}}\qquad \bigotimes }$

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:

${\displaystyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {AN}{AC}}\qquad \bigoplus }$

Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en ${\displaystyle \bigoplus }$ se obtiene:

${\displaystyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {LM}{AC}}\qquad \bigodot }$

De ${\displaystyle \bigotimes }$ y ${\displaystyle \bigodot }$ se obtiene la consideración que llamaremos (2):

${\displaystyle {\frac {BL}{BA}}={\frac {BM}{BC}}={\frac {LM}{AC}}}$

Luego de (1) y (2), resulta:

${\displaystyle BLM\sim BAC}$ por definición de semejanza.

Segundo caso

r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.

Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:

${\displaystyle (BAC\sim BLM)\Rightarrow (BLM\sim BAC)}$ por carácter simétrico.

Tercer caso

Si ${\displaystyle r}$ corta los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.

Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.

Quedan entonces ${\displaystyle BNO\sim BAC}$ por el caso I, semejanza que llamaremos ${\displaystyle \otimes }$.

Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:

• BN=BM por construcción
• α=α' por ser opuestos por el vértice.
• β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante LN

Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM ${\displaystyle \oplus }$ por el primer corolario de la definición.

De ${\displaystyle \otimes }$ y ${\displaystyle \oplus }$, y por carácter transitivo:

BAC ~ BLM ${\displaystyle \Rightarrow }$ BLM ~ BAC

Geometrías no-euclídeas

La posibilidad de aumentar el tamaño de una figura sin modificar su forma es tan obvia y natural que durante milenios se pensó que era una consecuencia de los axiomas de la geometría, y se trató en vano de demostrarlo desde la Grecia antigua. Sin embargo, al estudiar otras geometrías, las no euclidianas, los matemáticos del siglo XIX, entre ellos Bernhard Riemann y Nikolái Lobachevski se dieron cuenta de que esto sólo sucedía en los espacios euclídeos, es decir, sin curvatura.

Se puede definir una geometría sobre la esfera, por ejemplo: Los segmentos son los caminos más cortos que unen sus extremos y las rectas son las líneas geodésicas, a semejanza de los ecuadores de la esfera. El análogo de una homotecia se construye así: se escoge un punto O de la superficie como centro de la homotecia, y para definir la imagen de otro punto A se traza la geodésica que pasa por O y A (que es única si A no es el punto diametralmente opuesto a O), consideramos que O es el origen de esta línea y A el punto de abscisa 1. La imagen A' será el punto de abscisa k, donde k es la razón de la homotecia. En la figura se ha tomado k = 3 y se han construido las imágenes 

de B y C también.

Triángulos semejantes en la geometría de Riemann.

Se observa que la imagen del "triángulo" ABC es el "triángulo A'B'C', es decir que los catetos A'B', A'C' y B'C' son segmentos de líneas geodésicas, y que A'B'C' merece ser llamado triángulo semejante (por no decir homotético) al triángulo ABC.

Al aplicar la construcción precedente al pequeño triángulo ABC de la superficie de la esfera (pequeño en comparación con el diámetro), la suma de sus ángulos será ligeramente superior a π radianes (180º), pero el triángulo A'B'C' tendrá ángulos de mayor amplitud, siendo su suma mucho mayor que π radianes, como se ve en la figura. El aumento de tamaño implica aquí claramente un cambio de forma.

En conclusión, los triángulos semejantes permiten saber en que clase de espacio nos hallamos, uno euclidiano, o con curvatura positiva (como la esfera), o con curvatura negativa (espacio hiperbólico), y la doble caracterización de los triángulos similares (mismos ángulos y cocientes de los lados iguales) en la geometría usual no es ni anecdótico ni anodino.