Congruencia de triángulos

CONCEPTOS BÁSICOS!

Observa los siguientes triángulos:

Al mirar los dos pares de triángulos se puede apreciar que en ambos los triágulos tienen entre si la misma forma y tamaño .

Cuando se cumplen estas dos condiciones se dice que los triángulos son congruentes; esta palabra (congruente) se simboliza o representa con el símbolo

Definición:

Se dice que un Δ ABC es congruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.

Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de arriba son congruentes, se usa la siguiente simbología:

Al observar los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente congruentes, que son:

También tienen ángulos respectivamente congruentes:

Entonces es posible afirmar que

Al revés: si dos o más triángulos son congruentes, sus lados y ángulos lo serán respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vértices para nombrarlos, salvo que gráficamente se indique otra correspondencia.

Si, por ejemplo, tenemos Δ ABR

Δ CDS, sus lados respectivamente congruentes serán:

Y los ángulos respectivamente congruentes serán:

Criterios de congruencia

Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas que enuncian cuáles son las condiciones mínimas que deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes.

Estas son:

1.- Congruencia de sus lados

2.- Congruencia de sus ángulos

Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean iguales.

Los postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos son:

Postulado LAL

LAL significa lado-ángulo-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.

Postulado ALA

ALA significa ángulo-lado-ángulo.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente, iguales.

Postulado LLA

LLA significa lado-lado-ángulo

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.

Postulado LLL

LLL significa lado-lado-lado .

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

SEMEJANZA:

Es la variación en tamaño entre dos objetos o cuerpos pero sus formas son idénticas. Se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes. Por ejemplo, dos mapas a escalas distintas son semejantes, pues la forma del o los contenidos no cambia, pero si el tamaño.

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS:

1. Dos triángulos son semejantes, si tienen dos ángulos iguales.

2. Dos triángulos son semejantes, si tienen dos lados proporcionales e igual el angulo que forman.

3. Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales.

CONGRUENCIA:

En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es de traslaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la

misma forma y tamaño, aunque su posición u

orientación sean distintas. Las partes coincidentes

de las figuras congruentes se llaman

homólogas o correspondientes.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS:

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Notación: Si dos triángulos

\triangle ABC

\triangle DEF

son congruentes, entonces la relación se notará como:

\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}

Criterios para deducir o establecer la congruencia de dos triángulos.

*Congruencia de triángulos

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se establecen a través de los llamados teoremas de congruencia¹ ² los cuales son:

Caso LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados respectivos y el ángulo comprendido entre ellos.
Caso ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos.
Caso LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales los tres lados.
Caso LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados respectivos y el ángulo opuesto mayor medida que ellos.
Caso LAA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales uno de los lados, el ángulo opuesto a dicho lado y otro de los ángulos.
Caso AAL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado opuesto a cualquiera de los ángulos. ³

Congruencia y semejanza de triángulos

Aprenderás la congruencia y semejanza de los triángulos

Como habrás observado, la idea de que dos segmentos o dos ángulos tienen la misma medida sirve mucho para demostrar teoremas en geometría. Igualmente, cuando dos triángulos tienen sus lados de la misma medida, uno a uno, sirve para resolver problemas. El concepto de congruencia es el que se refiere a la igualdad de objetos geométricos.

Congruencia

Dos objetos geométricos son congruentes si tienen las mismas medidas y los mismos ángulos.

Por ejemplo, los siguientes segmentos son congruentes:

Igualmente, los siguiente dos ángulos son congruentes, pues tienen la misma medida:

Los siguientes triángulos son congruentes, pues tienen las medidas de sus lados y de sus angulos iguales, uno a uno:

Para denotar matemáticamente que los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ son congruentes, vamos a usar la notación:

$\begin{equation*} \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \end{equation*}$

y esto se leerá como: El triángulo $ABC$ es congruente con el triángulo $A'B'C'$ .

Existen tres criterios para determinar si dos triángulos dados son o no congruentes.

Los criterios son los siguientes:

(i) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes.
(ii) Si un ángulo de un triángulo es congruente con el ángulo de otro triángulo, y además los lados del ángulo considerado en cada triángulo son congruentes, entonces los dos triángulos son congruentes.
(iii) Si las longitudes de los lados de un triángulo son congruentes a las longitudes de los lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

El siguiente teorema es importante:

Teorema

La congruencia de triángulos satisface:

(i) $\triangle ABC\cong\triangle ABC$ .
(ii) Si $\triangle ABC\cong\triangle PQR$ , entonces $\triangle PQR\cong\triangle ABC$ .
(iii) Si $\triangle ABC\cong\triangle PQR$ y $\triangle PQR\cong\triangle RST$ , entonces, $\triangle ABC\cong\triangle RST$ .

En palabras, la primera afirmación dice en palabras que todo triángulo es congruente a sí mismo. Es decir, la congruencia de triángulos tiene la propiedad reflexiva. La segunda afirmación dice que si un triángulo es congruente a otro triángulo, el segundo es congruente al primero. Es decir, la congruencia de triángulos tiene la propiedad simétrica. La tercera afirmación dice que si un primer triángulo es

congruente a un segundo triángulo, y a su vez este segundo triángulo es congruente a otro tercer triángulo, entonces el primero y el tercero son congruentes. Es decir, la congruencia entre triángulos tiene la propiedad transitiva.

Semejanza de figuras

Dos figuras geométricas son semejantes si tienen los mismos ángulos internos (uno a uno) y sus lados correspondientes tienen la misma proporción.

Cuando decimos que dos figuras son semejantes queremos decir que ambas tienen la misma forma, pero tal vez una es escala de la otra. Los siguientes dos triángulos son semejantes:

y matemáticamente lo vamos a denotar por:

$\begin{equation*} \triangle ABC\sim\triangle A'B'C' \end{equation*}$

Otra forma de definir la semejanza entre dos triángulos es la siguiente:

Semejanza de triángulos

Si los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ satisfacen:

$\begin{equation*} \frac{|\segm{AB}|}{|\segm{A'B'}|} = \frac{|\segm{BC}|}{|\segm{B'C'}|} = \frac{|\segm{AC}|}{|\segm{A'C'}|} \end{equation*}$

entonces, $\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$ .

También podemos verificar que dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos internos son iguales uno a uno. En la figura donde se muestran los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ , los ángulos satisfacen: $\angle BAC = \angle B'A'C'$ , $\angle ABC = \angle A'B'C'$ , y $\angle ACB = \angle A'C'B'$ .

Ejemplo

Verifica si los triángulos siguientes son semejantes:

Dado que los ángulos son congruentes uno a uno, se concluye que los triángulos son semejantes.

Observa que el tercer ángulo (de cada triángulo) es el suplemento de $40\textdegree + 60\textdegree = 100\textdegree$ , pues la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a $180\textdegree$ .

Ejemplo

Verifica si los siguientes triángulos son semejantes:

En este caso, es obvio que hay un ángulo congruente en ambos triángulos, pues en ambos triángulos hay un ángulo que mide $30\textdegree$ . Por otra parte, ambos triángulos son isósceles, pues cada lado del ángulo que mide $30\textdegree$ tienen la misma longitud en los dos trángulos. Entonces esos lados son proporcionales:

$\begin{equation*} \textcolor{red}{\frac{4}{6}} = \textcolor{red}{\frac{4}{6}} = \frac{2}{3} \end{equation*}$

Por lo que los triángulos son semejantes.

Ejemplo

Verifica si los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ con lados $|\segm{AB}| = 5$ , $|\segm{BC}| = 3$ , $|\segm{AC}| = 4$ ,

$|\segm{A'B'}| = 15$ , $|\segm{B'C'}| = 9$ , $|\segm{A'C'}| = 12$ , son semejantes.
+

Ahora utilizaremos la definición que dimos de triángulos semejantes:

$\begin{array}{ccccccc} \textcolor{red}{\displaystyle\frac{|\segm{AB}|}{|\segm{A'B'}|}} & = & \textcolor{blue}{\displaystyle\frac{|\segm{BC}|}{|\segm{B'C'}|}} & = & \textcolor{cyan}{\displaystyle\frac{|\segm{AC}|}{|\segm{A'C'}|}} & & \\ \textcolor{red}{\displaystyle\frac{5}{15}} & = & \textcolor{blue}{\displaystyle\frac{3}{9}} & = & \textcolor{cyan}{\displaystyle\frac{4}{12}} & = & \displaystyle\frac{1}{3}\textcolor{white}{\displaystyle\frac{\frac{1}{x}}{x}} \end{array}$

Como se cumple la igualdad, concluimos que: $\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$ . Observa que pudimos utilizar:

$\begin{array}{ccccccc} \textcolor{red}{\displaystyle\frac{|\segm{A'B'}|}{|\segm{AB}|}} & = & \textcolor{blue}{\displaystyle\frac{|\segm{B'C'}|}{|\segm{BC}|}} & = & \textcolor{cyan}{\displaystyle\frac{|\segm{A'C'}|}{|\segm{AC}|}} & & \\ \textcolor{red}{\displaystyle\frac{15}{5}} & = & \textcolor{blue}{\displaystyle\frac{9}{3}} & = & \textcolor{cyan}{\displaystyle\frac{12}{4}} & = & 3\textcolor{white}{\displaystyle\frac{\frac{1}{x}}{x}} \end{array}$

por la propiedad simétrica de la semejanza de triángulos y concluir el mismo resultado.

Ejemplo

Verifica si los siguientes triángulos son semejantes:

Empezamos observando que hay un ángulo congruente en ambos triángulos, debido a que es opuesto por el vértice. Ahora vemos inmediatamente que el lado horizontal del triángulo de la izquierda mide el doble que el lado correspondiente del otro triángulo.

Nos falta ver que el lado inclinado del primer triángulo (de la izquierda) mida exactamente el doble que el de la derecha. Observa que: $\sqrt{52} = \sqrt{(4)(13)} = 2\,\sqrt{13}$ . Es decir, el lado inclinado del triángulo de la izquierda mide el doble del lado que le corresponde del triángulo de la derecha. Entonces, los triángulos son semejantes.

Como puedes ver los tres criterios de congruencia entre triángulos se pueden extender a criterios de semejanza de triángulos como se enlistan enseguida:

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, los dos triángulos son semejantes.
Si un ángulo de un triángulo es congruente con el ángulo de otro triángulo, y además los lados del ángulo considerado en cada triángulo son proporcionales, entonces los dos triángulos son semejantes.
Si las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a las longitudes de los lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

lo único que hemos hecho es cambiar la palabra congruente por proporcional cuando se refiere a la longitud de uno o varios lados de los triángulos. Ahora podemos aplicar los tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes.

Ejemplo

Expresa los tres criterios de semejanza de triángulos como teoremas.

+

Primer criterio:

+

Teorema

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con los de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

+

Porque si se conocen $\alpha$ y $\beta$ , el otro ángulo debe medir $180\textdegree - \alpha - \beta$ . Entonces los tres ángulos de cada triángulo son congruentes y los triángulos son semejantes.

+

Segundo criterio:

+

Teorema

Si uno de los ángulos de un triángulo es congruente con un ángulo de otro segundo triángulo, y los lados de cada uno de estos ángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

+

Porque al ser proporcionales los lados del triángulo y el ángulo entre ellos congruente, se tiene que uno es escala del otro, y el tercer lado de los triángulos queda proporcional, quedando los otros ángulos faltantes congruentes entre los triángulos.

+

Tercer criterio:

+

Teorema

Si las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a las longitudes de los lados de un segundo triángulo, los dos triángulos son proporcionales.

TRIANGULOS CONGRUENTES

miércoles, 29 de noviembre de 2017

Congruencia de triángulos

Criterios de congruencia

Los postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos son:

Postulado LAL

Postulado ALA

Postulado LLA

Postulado LLL

*Congruencia de triángulos

Congruencia y semejanza de triángulos

Aprenderás la congruencia y semejanza de los triángulos

Congruencia

Teorema

Semejanza de figuras

Semejanza de triángulos

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Teorema

Teorema

Teorema