CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

EJERCICIOS 

1. Observa el romboide, donde los triángulos RJU y HJT son congruentes. Aplicando los criterios de congruencia de triángulos, calcula ¿cuánto miden los ángulos JHT y JRU, respectivamente? A) 17° y 21° B) 38° y 17° C) 197° y 163° D) 163° y 142° 2. Observa la figura donde se muestra dos triángulos semejantes, si los datos corresponden a la medida del piso hasta el tablero de básquetbol y "x" representa a Juan parado sobre el piso entonces, ¿cuál debe ser el tamaño de "x"? A) 0.76m B) 1.63m C) 1.31m D) 0.61m 3. En el dibujo se representa a una palmera con su ombra en el piso, las medidas que se pueden obtener directamente están marcadas en el dibujo. Usando estos datos, ¿cuál es la altura de la palmera representada por la letra "x"? A) 12.0 B) 18.0 C) 9.5 D) 8.5 4. En dibujo representa el marco de una ventana, reforzada con varillas que forman triángulos semejantes, ¿cuánto mide la base de la ventana? (x) A) 28.6 cm B) 19.0 cm C) 33.0 cm D) 25.3 cm 5. En la alameda de mi colonia trazaron sobre el jardín central, varias figuras geométricas rellenas de flores. Entre ellas destacan dos que son semejantes entre sí, ambas son triángulos. La base del más grande es de 15m y su altura es de 7m. Si la base homóloga del otro mide 3.75m, ¿cuál es la altura que tiene este otro triángulo? (Aproxima el resultado a centésimos) A) 1.86 m B) 2.14 m C) 4.00 m D) 1.75 m 6. ¿Cuál de los siguientes triángulos es semejante a un triángulo isósceles con dos lados de tamaño 12 y el otro de tamaño 6? A) Opción D B) Opción C C) Opción B D) Opción A 7. Observa el triángulo de la parte superior A) Triángulo D B) Triángulo C C) Triángulo B D) Triángulo A 8. Utilizando las propiedades de triángulos semejantes, encuentra el valor de "X" A) 18.2 B) 20 C) 30 D) 22.5 9. ¿Cuál es el valor de X en la figura que se muestra? A) 33.75 B) 36 C) 40 D) 28.30 10. Aplica las propiedades de los triángulos semejantes y encuentra el valor de X A) 32 B) 28.8 C) 36 D) 24.32

Diferencia entre semejanza y congruencia

Diferencia entre semejanza y congruencia

Diferencia entre semejanza y congruencia.

*Congruencia de triángulos se da cuando dos triángulos son exactamente iguales en todos los sentidos, es decir, miden lo mismo y tienen los mismos ángulos.

*Semejantes son los triángulos que no son idénticos pero guardan una proporción ( o escala) en sus lados y ángulos.

  Semejanza

 Congruencia

Los conceptos de congruencia y semejanzas 

se establecen cuando las figuras son de la misma forma y tienen igual ó diferente tamaño. Para la congruencia tanto angulos y lados tienen la misma medida. Mientras que en la semejanza las dos figuras tienen la misma forma aunque no tengan la misma medida ó tamaño, sus angulos correspondientes u homologos deben ser congruentes y los segmentos correspondientes ó lados homologos deben guardar entre si una relacion proporcional.

Tomemos como figura geometria el triangulo

¿ Cuando se puede afirmar que dos triangulos son semejantes?

Ejemplo:

Comparar los triangulos que se muestran en la figura y determinar si son semejantes.

Solución:

Al comparar con un transportador las medidas entre el angulo M del triangulo grande y el angulo P del triangulo pequeño se encuentra que son iguales y su valor es de 60º.

De igual forma al comparar el angulo N con el angulo Q encontramos que son iguales y su valor es de 40º.

Finalmente los angulos O y P de los triangulos grande y pequeño respectivamente son iguales y su valor es de 80º

De otra manera al medir los lados correspondientes de cada uno de los triangulos se encuentra un cociente que es constante entre estos lados de la siguiente forma asi:

Por esta razón despues de comparar los angulos y los lados de dos triangulos se puede concluir que los triangulos son semejantes si sus angulos son iguales y sus lados tienen un cociente constante que los contenga.

y graficamente se puede calcar ó sobreponer el triangulo pequeño sobre el triangulo grande asi:

ACTIVIDAD:

Determine si hay ó no semejanza entre los triangulos para cada enunciado propuesto:

1) a= 5mm; b=6mm; c=7mm; d=10mm; f=12mm; g=14mm y M=K; N=Q; S=P

2) a= 3.5mm; b=5.5mm; c=7.5mm; d=14mm; f=22mm; g=30mm y M=K; N=Q; S=P

3) a= 4.3mm; b=6.3mm; c=5.3mm; d=11mm; f=14mm; g=28mm y M=K; N=Q; S=P

4) a= 3.1mm; b=3.3mm; c=3.5mm; d=22.3mm; f=24.4mm; g=22.5mm y M=K; N=Q; S=P

5) a= 4.1mm; b=4.3mm; c=4.5mm; d=18.3mm; f=18.5mm; g=18.6mm y M=K; N=Q; S=P

6) a= 8.2mm; b=8.5mm; c=8.6mm; d=41mm; f=42.5mm; g=43mm y M=K; N=Q; S=P

7) a= 11.1mm; b=11.2mm; c=11.3mm; d=33.3mm; f=33.6mm; g=33.9mm y M=K; N=Q; S=P

8) a= 6.4mm; b=6.5mm; c=6.6mm; d=25.6mm; f=26mm; g=26.4mm y M=K; N=Q; S=P

9) a= 7.3mm; b=7.4mm; c=7.5mm; d=58.4mm; f=59.2mm; g=60mm y M=K; N=Q; S=P

10) a= 9.7mm; b=9.8mm; c=9.9mm; d=48.5mm; f=49mm; g=49.5mm y M=K; N=Q; S=P

Fecha 14 de Septiembre de 2010

Metodologia: Lea las definiciones relacionadas con Plano cartesiano, Movimiento Rigido, Movimiento de Traslación y movimiento de rotación

Logro 3 Indicadores 2, 3 y 4

Temas: - Ubicación de coordenadas en el plano cartesiano

- Aplicacion de Movimientos Rigidos

- Composición del Movimiento de Traslación

- Composición del Movimiento de Rotación

Definiciones:

Plano Cartesiano: Sistema de referencia respecto a dos ejes ( Eje y - Horizontal , Eje x - Vertical) que se cortan en punto llamado origen

Movimiento Rigido: Se define movimiento rigido en geometria como cada uno de los movimientos de figuras geometricas que se realizan sobre el plano cartesiano sin ninguna modificación.

Movimiento de Traslacion: La traslación es un movimiento que se realiza sobre el plano cartesiano de tal forma que cada punto de la figura se desplaza la misma cantidad en la misma dirección.

Movimiento de Rotación: La rotación es un movimiento angular de cada uno de los puntos de una figura en el plano cartesiano, desde un punto denominado centro de giro con el fin de rotar la figura un angulo desde el centro de giro.

Actividad:

Realice los movimientos de Traslación y Rotación sobre la figura geometrica que aparece en el grafico.

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE FIGURAS

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE FIGURAS

FIGURAS CONGRUENTES

Son aquellas que tienen la misma forma, el mismo tamaño y al superponerlas todos sus puntos coinciden.

Para que dos figuras sean congruentes deben cumplir con las siguientes condiciones:

• Todos sus ángulos interiores correspondientes sean iguales.
• Todos sus lados correspondientes tengan la misma medida.

FIGURAS SEMEJANTES

Son aquellas que tienen la misma forma pero diferente tamaño, es decir, sus lados correspondientes son proporcionales de acuerdo a una razón de semejanza, factor de escala o constante de proporcionalidad.  Cuando dividimos la medida de un lado entre su correspondiente, el número es el mismo es decir es constante en todos los lados de la figura, a este número se le llama razón de semejanza.

Para que dos figuras sean semejantes deben cumplir dos condiciones:

• Sus ángulos correspondientes (homólogos) son iguales.
• Sus lados correspondientes son proporcionales.

Ahora analizaremos la congruencia y la semejanza del polígono de menor número de lados  "El triángulo".

CRITERIOS DE CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Al conjunto mínimo de datos que se requieren para asegurar si dos triángulos son CONGRUENTES O SEMEJANTES, se les llama CRITERIOS.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.

Para asegurar que dos triángulos son congruentes, es suficiente que se cumpla cualquiera de los siguientes criterios de congruencia:

• NO. 1. CRITERIO LLL (LADO,LADO,LADO) Los lados correspondientes son iguales. (Congruentes).
• No. 2.- CRITERIO LAL (Lado,ángulo, lado). Los 2 lados correspondientes y elángulo que forman son iguales.
• No. 3.- CRITERIO ALA (Ángulo, lado, ángulo). Dos ángulos   correspondientes  y el lado común son iguales.

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Para que dos triángulos sean semejantes basta que se cumpla cualquiera de los siguientes criterios:

Sus

• No. 1.-CRITERIO  LLL (Lado,lado,lado). Sus lados correspondientes sonproporcionales.
• No. 2.- CRITERIO LAL (Lado,ángulo, lado). Un ángulo correspondiente es igual y los lados que lo forman son proporcionales.
• No. 3.- CRITERIO AA (Ángulo, ángulo). Dos ángulos correspondientes soniguales. (Recuerda que la suma de ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados, por lo tanto conociendo dos lados, podemos obtener la medida del tercer ángulo faltante).

Relaciones posicionares entre ángulos:

• Ángulos adyacentes
• Ángulos consecutivos
• Ángulos opuestos por el vértice
• Ángulos interiores y exteriores

Ángulos adyacentes

 son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún punto interior en común.¹​²​³​

En la literatura del tema es posible también encontrar casos donde se denomina como adyacentes a cualquier par de ángulos que compartan el vértice y un lado, aunque no sean suplementarios (es decir, se llaman adyacentes a los ángulos que en otros textos se denominan consecutivos),⁴​⁵​ quizás debido a la influencia del inglés en donde adjacent anglestiene este significado. Por ello es importante al abordar un texto sobre el tema, tener presente cual es la convención usada. En este artículo se efectúa la distinción, considerando únicamente el caso en que los lados no comunes formen una línea recta, reservando el artículo ángulos consecutivos para la otra acepción.

Propiedades

• Los senos de los ángulos adyacentes son los mismos, por ejemplo:

sin( 120° ) = sin( 60° )

sin( α° ) = sin( 180° - α° )

sin( α ) = sin( π - α )

• Los cosenos de los ángulos adyacentes son de igual valor absoluto, pero de signo inverso, como muestran los siguientes ejemplos:

cos( 120° ) = - cos( 60° )

cos( α° ) = - cos( 180° - α° )

cos( α ) = - cos( π - α )

Los ángulos consecutivos o ángulos contiguos

Varios ángulos serán consecutivos cuando cada uno de ellos comparte un lado con el siguiente, formando una única cadena ordenada donde todos tienen el mismo vértice.

Son ángulos consecutivos los adyacentes.

 son aquellos que comparten un mismo vértice y un único lado común.

opuestos por el vértice

En geometría dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro ángulo.

En la figura los ángulos a, c y b, d son opuestos por el vértice. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes, osea iguales.

TIPOS DE ANGULOS

Ángulos complementarios

Los ángulos α y β son complementarios.

Los ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidas suman ${\displaystyle 90^{\circ }}$ (grados sexagesimales), es decir que si dos ángulos complementarios son a su vez consecutivos, los lados no comunes de estos forman un ángulo recto.

Ejemplos

• El ángulo complementario de ${\displaystyle \alpha }$, teniendo ${\displaystyle \alpha }$ una amplitud de ${\displaystyle 70^{\circ }}$, será un ángulo ${\displaystyle \beta }$ con una amplitud igual a la diferencia entre ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle 90^{\circ }}$:

${\displaystyle \beta =90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }}$

por tanto el ángulo ${\displaystyle \beta }$ es el complementario de ${\displaystyle \alpha }$ ya que ${\displaystyle \alpha +\beta =90^{\circ }}$.

• El triángulo rectángulo tiene dos ángulos complementaros puesto que al ser triángulo se tiene que ${\displaystyle 180^{\circ }=90^{\circ }+\alpha +\beta }$ por tanto ${\displaystyle 90^{\circ }=\alpha +\beta }$.

• La diagonal de un rectángulo también configura ángulos complementarios con los lados adyacentes.

Ángulos suplementarios

Ángulos suplementarios.

Dos ángulos ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ son ángulos suplementarios, si suman ${\displaystyle 180^{\circ }}$ 

• Un ángulo es o tiene suplementario si es menor que ${\displaystyle 180^{\circ }}$.

• El valor de ${\displaystyle 180^{\circ }}$ es el mismo que dos ángulos rectos, ${\displaystyle \pi }$ rad o ${\displaystyle 200^{g}}$ grados centesimales.

Ángulos conjugados

Ángulos conjugados se denomina a dos ángulos cuyas medidas suman 360º (grados sexagesimales).

β = 360° – 250º = 110º

el ángulo β (beta) es el conjugado de α (alfa).

• 360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400 grados centesimales.

Dos ángulos conjugados con vértices coincidentes, tendrán sus lados comunes.

Así, para obtener el ángulo conjugado de α que tiene una amplitud de 250°, se restará α de 360°: